Lý Thuyết Nhị Thức Niu Tơn Kèm Các Dạng Toán Có Đáp Án

Nhị thức niu tơn là 1 trong chuyên mục cần thiết nhập đề ganh đua lớp 11 hao hao THPTQG. Bài viết lách này sẽ hỗ trợ học viên cầm vững chắc lý thuyết và dạng bài bác luyện về: lần thông số nhập khai triển, lần số hạng nhập khai triển, tính tổng, rút gọn gàng biểu, chứng tỏ biểu thức, giải phương trình, bất phương trình chỉnh hợp ý tổng hợp trải qua những ví dụ.

1. Lý thuyết nhị thức niu tơn

1.1. Định lý khai triển nhị thức niu tơn

Trong lịch trình toán giải tích lớp 11 vẫn học tập, khai triển nhị thức niu tơn(ngắn gọn gàng là lăm le lý nhị thức) là 1 trong lăm le lý toán học tập về sự việc khai triển hàm nón của tổng. Định lý khai triển một nhị thức bậc n trở nên một nhiều thức sở hữu n+1 số hạng:

Bạn đang xem: khai triển nhị thức newton

$\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

Có $\left ( C_{k}^{n} \right )$ là số tổng hợp chập k của n thành phần ( $0\leqslant k\leqslant n$ ). Ta sở hữu lăm le lý, số những tổng hợp chập k của n thành phần vẫn mang lại như sau:

$\left ( C_{k}^{n} \right )=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}$

1.2. Công thức nhị thức niu tơn

1.2.1. Định lý

Với $\forall n\epsilon N^{*}$ với cặp số (a,b) tao có:

Định lý nhị thức niu tơn lớp 11

1.2.2. Hệ quả

$\left (1+x\right)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+x^{n}C_{n}^{x}$

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô ôn luyện kiến thức và kỹ năng ôn ganh đua chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông sớm ngay lập tức kể từ bây giờ!!!

2. Các dạng toán nhị thức niu tơn

2.1. Cách lần thông số nhập khai triển và lần số hạng nhập khai triển

Với dạng toán này, những em hãy dùng số hạng tổng quát mắng (số hạng loại k+1) của khai triển. Tiếp theo đòi đổi khác nhằm tách riêng biệt phần biến hóa và phần thông số, tiếp sau đó phối hợp đề bài bác nhằm xác lập chỉ số k. Lưu ý số hạng bao gồm thông số + phần biến hóa.

2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cơ hội lần thông số nhập khai triển

VD1: Hệ số của $x^{31}$ nhập khai triển $\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

$\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{k}\left ( \frac{1}{x^{2}} \right )^{40-k}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}$

Hệ số của x³¹ là $C_{40}^{k}$ với k thỏa mãn nhu cầu ĐK 3k - 80 = 31 ⇔ k=37

Vậy thông số của $x^{31}$ là $C_{40}^{37} = 9880$

VD2: Hệ số của x³ nhập khai triển nhị thức niu tơn $\left ( x^{2}+\frac{2}{x} \right )^{12}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tao có:

$(x^{2} + \frac{2}{x})^{12} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}(x^{2})^{12 - k}.(\frac{2}{x})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{24-3k}$

Ta có: 24 - 3k = 3 $\Leftrightarrow$ k = 7

Vậy thông số x³ trong khai triển là a₃ = $C_{12}^{7}.2^{7} = 101376$

2.1.2. Ví dụ về phong thái lần số hạng nhập khai triển

VD1: Tìm số hạng không tồn tại x nhập khai triển của nhị thức sau: $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ ; $x\neq 0$

Lời giải:

Số hạng tổng quát mắng nhập khai triển $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ là $C_{12}^{k}x^{12-k}\frac{1}{x}^{k}=C_{12}^{k}x^{12-2k}$

Số hạng không tồn tại x ứng với k thỏa mãn nhu cầu 12 - 2k = 0 ⇔ k=6

=> số hạng ko chứa chấp x là $C_{12}^{6}=924$

VD2: Số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển: $\left ( x-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )^{n}$ biết $A_{2}^{n}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6$

Lời giải:

$A_{2}^{n} = C_{n}^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} + 4n + 6 \Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n-1)}{2!} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n = 12$

Theo khai triển nhị thức Newton thì

$(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k}.(\frac{2}{\sqrt{x}})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}2^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k - \frac{k}{2}}$

Ta xét phương trình:

$12 - k - \frac{k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 8$

Vậy tao hoàn toàn có thể Kết luận số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển $(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n}$ là:

$a_{0} = (-1)^{8}.2^{8}C_{12}^{8} = 126720$

VD3: Tìm số hạng chứa chấp $x^{\frac{10}{3}}$ nhập khai triển của nhị thức niu tơn của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tao có:

$(x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{2}})^{10} = \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x\sqrt[3]{x})^{10-k}.(\frac{2}{x^{2}})^{k}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x^{\frac{4}{3}})^{10-k}.\frac{2^{k}}{x^{2k}}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}.2^{k}.C_{10}^{k}.x^{\frac{4}{3}(10-k) - 2k}$

Ta xét phương trình $\frac{4}{3}(10-k) - 2k = \frac{10}{3} \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{\frac{10}{3}}$ trong khai triển của nhị thức Newton của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$ là:

$a_{\frac{10}{3}} = (-1)^{3}.2^{3}.C_{1}^{3}0x^{\frac{10}{3}} = -960x^{\frac{10}{3}}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ mất mặt gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks canh ty tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không tính tiền ngay!!

2.2. Rút gọn gàng đẳng thức, chứng tỏ biểu thức

Phương pháp:

Nhận xét câu hỏi kể từ cơ lựa chọn hàm số phù phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thông thường tao hoặc dùng những hàm cơ phiên bản $\left ( x+1 \right )^{n},\left ( 1+x \right )^{n},\left ( 1-x \right )^{n},\left ( x-1 \right )^{n}$ .
Khai triển nhị thức vừa phải tìm kiếm được và dùng những phép tắc đổi khác đại số, giải tích để sở hữu được dạng phù phù hợp với đề bài bác.
Chọn độ quý hiếm của x mang lại tương thích để sở hữu được biểu thức như nhằm bài bác Thông thưởng tao lựa chọn x là những số 1 hoặc -1 (cũng hoàn toàn có thể $\pm 2,\pm 3$ ...).

Vậy tao đạt được tổng hoặc mệnh đề rất cần phải chứng tỏ.

2.2.1. Ví dụ về rút gọn gàng đẳng thức

VD1: Tính tổng: $S=C_{3030}^{0}-2C_{3030}^{1}+2^{2}C_{3030}^{2}-2^{3}C_{3030}^{3}+...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Lời giải:

Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11 với a = 1, b= -2 tao được:

$\left(1-2\right)^{3030}=C_{3030}^{0}1^{3030}-2C_{3030}^{1}1^{3029}+2^{2}C_{3030}^{2}1^{3028}-...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Xem thêm: vật lí 8 bài 18

VD2: Rút gọn gàng biểu thức sau:

$A= 2.1C_{n}^{2}-3.2C_{n}^{3}+...+n(n-1)(-1)C_{n}^{n}$

Lời giải:

a) Ta có:

$(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1}x + C_{n}^{2}x^{2} - C_{n}^{3}x^{3} +...+ (-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n} (1)$

Ta lấy đạo hàm bậc nhì theo đòi x cả nhì vế của phương trình (1) tao được:

$-n(1 - x)^{n - 1} = -C_{1}^{n} + 2C_{n}^{2}x - 3C_{n}^{3}x^{2} + ...+ n(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 1}$

$n(n - 1)(1 - x)^{n - 2} = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}x + ...+ n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 2} (2)$

Thay x = 1 nhập phương trình (2) tao được:

$0 = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}+...+n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n} \Leftrightarrow A = 0$

2.2.2. Ví dụ chứng tỏ biểu thức

VD1: Chứng minh rằng: $C_{2001}^{0}+3^{2}C_{2001}^{2}+...+3^{2000}C_{2001}^{2000}=2^{2000}(2^{2001}-1)$

Lời giải:

$\left ( 1+x \right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}$

Cho n = 2001 và x = 3 tao được:

$4^{2021}=C_{2021}^{0}+3C_{2021}^{1}+...+3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (1)

Cho n = 2001 và x = -3 tao được:

$-2^{2021}=C_{2021}^{0}-3C_{2021}^{1}+...-3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (2)

(1) + (2) vế theo đòi vế tao được:

$\frac{1}{2}\left ( 4^{2021}-2^{2021}\right )=2^{2000}\left ( 2^{2021}-1 \right )=C_{2021}^{0}+3^{2}C_{2021}^{2}+...+3^{2000}C_{2021}^{2000}$

Điều nên hội chứng minh

VD2: Chứng minh rằng:

$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...=2^{n-1}$

Lời giải:

Ta có: $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0}.x^{0} + C_{n}^{1}.x + C_{n}^{2}.x^{2} +...+ C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 + 1)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} +...+ C_{n}^{n} (1)$

và $(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}.C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 - 1)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}C_{n}^{n} (2)$

Ta lấy phương trình (1) + (2) tao được:

$2^{n} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

Lấy (1) - (2) tao được

$2^{n} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

Vậy $C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+... = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+... = 2^{n-1}$

2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh hợp ý tổ hợp

Đối với dạng bài bác này, các em dùng những công thức tính số thiến, tổng hợp chỉnh hợp ý nhằm đổi khác phương trình tiếp sau đó đánh giá ĐK của nghiệm và Kết luận.

VD1: Tìm n biết $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15$

Lời giải:

Điều khiếu nại $n\geqslant 2$

Giả thiết tương tự với:

$n+\frac{n(n-1)}{2}=15\Leftrightarrow n^{2}+n-30=0\Leftrightarrow n=5$ hoặc $n=-6$ (loại)

VD2: Cho khai triển $\left ( 1+2x \right )^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ . Tìm số nguyên vẹn dương n biết $a_{0}+8a_{1}=2a_{2}=1$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tao có:

$(1 + 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}(2x)^{k} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}.2^{k}.x^{k}$

Từ cơ, tao sở hữu thông số của x^k là $a_{k} = 2^{k}C_{n}^{k}$

Theo fake thiết vẫn mang lại của đề bài bác tao có:

$C_{n}^{0} + 8.2.C_{n}^{1} = 2.2^{2}.C_{n}^{2} + 1 \Leftrightarrow 1 + 16n = 8.\frac{n(n - 1)}{2} + 1 \Leftrightarrow 4n^{2} - 20n = 0$

$\Leftrightarrow n = 5$

VD3: Tìm số đương nhiên n thỏa mãn: $C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n}=2^{2015}$

Lời giải:

Đặt:

$A = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{2} + C_{2n}^{4} +...+ C_{2n}^{2n}$

$B = C_{2n}^{1} + C_{2n}^{3} + C_{2n}^{5} +...+ C_{2n}^{2n - 1}$

Từ cơ tao suy đi ra được:

$\left\{\begin{matrix} A + B = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} +...+ C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n} = (1 + 1)^{2n} = 2^{2n}\\A - B = C_{2n}^{0} - C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} -...- C_{2n}^{2n - 1}+ C_{2n}^{2n} = (1 - 1)^{2n} = 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A = \frac{2^{2n}}{2} = 2^{2015} \Leftrightarrow 2n = năm 2016 \Leftrightarrow n = 1008$

Nhận ngay lập tức bí quyết hoàn hảo cỗ cách thức giải từng dạng bài bác nhập đề ganh đua Toán trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài bác luyện của hệ thức nhị thức niu tơn nhập lịch trình Toán 11. Để đạt được thành quả cao các em nên thực hiện thêm thắt nhiều loại bài bác không giống nữa. Hy vọng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Để học tập và ôn luyện nhiều hơn thế những phần kiến thức và kỹ năng lớp 12 đáp ứng ôn ganh đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán, những em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo ngay lập tức kể từ thời điểm hôm nay nhé!

Bài viết lách xem thêm thêm:

Xem thêm: văn 8 đánh nhau với cối xay gió

Hoán vị, tổng hợp và chỉnh hợp

Quy tắc đếm

Phép test và biến hóa cố