nhị thức newton lớp 10

Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton - Chân trời sáng sủa tạo

Bạn đang xem: nhị thức newton lớp 10

A. Lý thuyết

Hai công thức khai triển:

• ${\left(a+b\right)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4;$

•  ${\left(a+b\right)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5.$

Hai công thức bên trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) ${\left(a+b\right)}^n$  ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

– Các thông số nhập khai triển nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 0; 1; 2; 3; … được viết lách trở nên từng sản phẩm và xếp trở nên bảng số như tiếp sau đây.

Bảng số này còn có quy luật: số trước tiên và số sau cuối của từng sản phẩm đều là 1; tổng của 2 số liên tục đứng thảng hàng thông qua số của sản phẩm tiếp bên dưới ở địa điểm thân ái nhì số bại liệt (được chỉ vì chưng mũi thương hiệu bên trên bảng).

Bảng số bên trên dược gọi là tam giác Pascal (đặt theo dõi thương hiệu ở trong nhà toán học tập, vật lí học tập, triết học tập người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662).

Ví dụ: Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton tao có:

(a + 2)⁴ = 1.a⁴ + 4a³.2 + 6a².2² + 4a.2³ + 2⁴

= a⁴ + 8a³ + 24a² + 32a + 16.

Ví dụ: Khai triển và rút gọn gàng biểu thức: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5.$

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton tao có:

Do bại liệt tao có: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5=176+80\sqrt{5}+176-80\sqrt{5}=352.$

B. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức:

a) (2x + y)⁴;

b) ${\left(x-\sqrt{5}\right)}^5.$

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton tao có:

a) (2x + y)⁴ = (2x)⁴ + 4.(2x)³.hắn + 6.(2x)².y² + 4(2x).y³ + y⁴

= 16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴.

Bài 2. Tìm thông số của x⁴ nhập khai triển (2x – 3)⁵.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton tao có:

(2x - 3)⁵ = (2x)⁵ + 5(2x)⁴.(–3) + 10.(2x)³.(–3)² + 10.(2x)².(–3)³ + 5.2x.(–3)⁴ + (–3)⁵

Xem thêm: the furniture was so expensive that i didn't buy it

= 32x⁵ – 240x⁴ + 720x³ – 1080x² + 810x – 243

Vậy thông số của x⁴ nhập khai triển là –240.

Bài 3. Sử dụng công thức nhị thức Newton minh chứng rằng:

$C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5=243$

Hướng dẫn giải

Giả sử tao đem khai triển (a + b)ⁿ với n = 0; 1; 2; …

Ta thấy nhập biểu thức chứng tỏ đem tổng hợp chập k của 5, nên n = 5.

Ở trên đây đem xuất hiện nay lũy quá của số 2 kể từ nón 1 cho tới nón 5 nên b = 2.

Ta đem khai triển:

 ${\left(a+2\right)}^5=C_5^0.a^5+C_5^1.a^4.2+C_5^2.a^3{.2}^2+C_5^3.a^2{.2}^3+C_5^4.a{.2}^4+C_5^5{.2}^5$

Khi a = 1 thì tao có:

${\left(1+2\right)}^5=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.2+C_5^2{.1}^3{.2}^2+C_5^3{.1}^2{.2}^3+C_5^4{\mathrm{.1.2}}^4+C_5^5{.2}^5$

$\iff 3^5=C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5$

$\iff 243=C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5$

Vậy $C_5^0+2.C_5^1+2^2.C_5^2+2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5=243.$

Bài 4. Khai triển và rút gọn gàng biểu thức: (x + 2)⁴ + (2 – x)⁴.

Từ bại liệt tính độ quý hiếm biểu thức: 2,05⁴ + 1,95⁴.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton tao có:

• (x + 2)⁴ = x⁴ + 4x³.2 + 6x².2² + 4x.2³ + 2⁴

 = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

• (2 – x)⁴ = 2⁴ + 4.2³.(–x) + 6.2².(–x)² + 4.2.(–x)³ + (–x)⁴

 = x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Do bại liệt tao có:

(x + 2)⁴ + (2 – x)⁴ = 2x⁴ + 48x² + 32.

Với x = 0,05 tao có:

(0,05 + 2)⁴ + (2 – 0,05)⁴

= 2.(0,05)⁴ + 48.(0,05)² + 32

= 32,1200125.

Vậy 2,05⁴ + 1,95⁴ = 32,1200125.

Xem tăng tóm lược lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng sủa tạo hay, cụ thể khác:

Lý thuyết Bài tập luyện cuối chương 8

Lý thuyết Bài 1: Tọa chừng của vectơ

Xem thêm: giải sgk văn 7 kết nối tri thức

Lý thuyết Bài 2: Đường trực tiếp nhập mặt mũi phẳng lì tọa độ

Lý thuyết Bài 3: Đường tròn trặn nhập mặt mũi phẳng lì tọa độ

Lý thuyết Bài 4: Ba đàng conic nhập mặt mũi phẳng lì tọa độ